\title{金融随机分析}

\subtitle{抛掷硬币空间上的概率论}
\date{}
% \date{\zhtoday}
% \date{2020年秋季}
\author{\textit{甘湘华}}
\institute{}
\titlegraphic{\hfill\includegraphics[height=0.8cm]{../figure/swufe-logo-wide.jpg}}

\begin{document}
\maketitle
\begin{frame}{目录}
    \setbeamertemplate{section in toc}[default] % [sections numbered]
    \tableofcontents[hideallsubsections]
    %\begin{columns} % ganx@swufe: Use this when there are many sections.
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    %    \end{column}
    %    \begin{column}{.45\textwidth}
    %        \tableofcontents[hideallsubsections,sections=5-8]
    %    \end{column}
    %\end{columns}
\end{frame}

\section{有限概率空间}

\begin{iframe}[c]{一维抛掷硬币概率空间}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item 如果试验由抛掷一枚硬币所构成，那么抛掷一次的样本空间为
        \begin{equation*}\label{eq:one_period_space}
            \mathbb{C} = \{H, T\}
        \end{equation*}
        \item
            我们在 $\mathbb{C}$ 上定义一个概率测度 $\mathbb{P}$:
            \begin{equation*}
                \mathbb{P}\{\omega = H\} = p
                \mbox{ and }
                \mathbb{P}\{\omega = T\} = q,
            \end{equation*}
            其中 $p, q > 0$ 且 $p + q = 1$.
        \item
            我们称
            \begin{equation*}
                (\mathbb{C}, \mathbb{P})
            \end{equation*}
            为抛掷硬币概率空间 (coin space).           
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{多维抛掷硬币概率空间}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item
            如果将抛掷硬币试验独立第做两次，
            那么样本空间为笛卡尔乘积 $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
            我们用 $\mathbb{C}^{(2)}$ 表示 2 维抛掷硬币样本空间：           
            \begin{equation*}\label{eq:two_period_sample_space}
                \mathbb{C}^{(2)} = \{HH, HT, TH, TT\}.
            \end{equation*}
        \item
            根据二项分布求概率，得到 $\mathbb{C}^{(2)}$
            上的一个概率测度 $\mathbb{P}$:
            \begin{equation*}\label{eq:two_coin_space_prob}
                \begin{aligned}
                \mathbb{P}\{\omega^{(2)} = HH\} &= p^2 \quad
                \mathbb{P}\{\omega^{(2)} = HT\} &= pq \\
                \mathbb{P}\{\omega^{(2)} = TH\} &= pq \quad
                \mathbb{P}\{\omega^{(2)} = TT\} &= q^2.
                \end{aligned}
            \end{equation*}
        \item
            我们称 $\left(\mathbb{C}^{(2)}, \mathbb{P}\right)$
            为 2 维抛掷硬币概率空间; 推广到 $N$,
            则 为 $N$ 维抛掷硬币概率空间:
            \begin{equation*}\label{eq:N_period_prob_space}
                \left(\mathbb{C}^{(N)}, \mathbb{P}\right).
            \end{equation*}
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{有限概率空间三要素}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item 样本空间 $ \Omega$
        \item 事件 $A$
            \begin{itemize}
                \item $\Omega$ 中的一个子集
            \end{itemize}
        \item 概率测度 $ \mathbb{P}$
            \begin{itemize}
                \item $ \sum_{\omega\in\Omega}\mathbb{P}(\omega) = 1$ 
                \item $ \mathbb{P}(A) = \sum_{\omega\in A}\mathbb{P}(\omega)$
            \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{iframe}


\section{随机变量、分布和期望}%
\label{sec:rv_dist_expectation}

\begin{iframe}[c]{随机变量}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item 设 $\left( \Omega, \mathbb{P}\right) $,
            为有限概率空间，
            \emph{随机变量} 为定义在 $ \Omega$ 上的一个实值函数。
            随机变量示例： $\mathbb{C}^{(2)}$ 上的股票价格
    \end{itemize}
    \begin{figure}[htpb]
        \centering
        \includegraphics[width=0.85\textwidth]{../image/BT-2-UC.pdf}
        \caption{}
        \label{fig:}
    \end{figure}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{随机变量的表示}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item
          假设股票现在的价格为 $S_0 = 4$,
          我们抛掷一枚硬币 3 次。
          每一次抛掷硬币后，
          如果是正面，则股票价格在当前的基础上加倍；
          如果是反面，则股票价格在当前的基础上减半。
          第 $i$ 次抛掷一枚硬币后，
          记股票的价格为 $S_i$, $i = 1, 2, 3$.
        \item
          请把 $S_i$, $i = 0, 1, 2, 3$,
          表示为在 3 维抛掷硬币概率空间上的随机变量。
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{frame}[c]{随机变量的表示---答案}
    \begin{figure}[htpb]
        \centering
        \includegraphics[width=0.89\textwidth]{../image/BT-3.pdf}
        \caption{随机变量的表示}
        \label{fig:}
    \end{figure}
\end{frame}


\begin{iframe}[c]{相同样本空间下不同的概率测度}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item 样本空间相同，样本空间到实数域的映射相同，但测度可以不同。
            \begin{itemize}
                \item 真实 $\mathbb{P}$:
                    $p, q$, $p + q = 1$.
                \item 风险中性 $\tilde{\mathbb{P}}$:
                    $\tilde{p}, \tilde{q}$,
                    $\tilde{p} + \tilde{q} = 1$.
            \end{itemize}
            \note{提问：为什么 $p$ 要大于  $\tilde{p}$？ \\}
            \note{\hspace{0.95cm} 提示：如果不成立，股票收益小于或等于 $r$。\\~\\}
        \item 计算下一时刻股票的真实价格
        \item 计算下一时刻风险中性测度下的股票价格
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{期望及方差}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item 设 $X$ 为定义在有限概率空间 $\left( \Omega, \mathbb{P}\right) $
            上的随机变量。
            $X$ 的期望定义为：
            \begin{equation*}
                \mathbb{E}[X] = \sum_{\omega\in\Omega}X(\omega)\mathbb{P}(\omega).
            \end{equation*}
        \item
            $X$ 的函数 $g(X)$ 的期望定义为：
            \begin{equation*}
                \mathbb{E}[g(X)] =
                \sum_{\omega\in\Omega} g(X)(\omega)\mathbb{P}(\omega).
            \end{equation*}
        \item 令 $g(X) = (X - \mathbb{E}[X])^2$,
            我们定义方差为 $\mathbb{E}[g(X)]$.
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{frame}[c]{不等式}
    \begin{itemize}
        \item \textbf{马尔可夫不等式}: 如果 $X$ 是只取非负值的随机变量，
            那么对于任意 $a>0$, \[
                \mathbb{P}\{X\geq a\}\leq\frac{\mathbb{E}[x]}{a}.
            \]
            \note{演示：用分析方法证明马尔可夫不等式。 \\~\\}
            \note{演示：求正整数随机变量的期望的概率求和方式。 \\~\\}
            \note{演示：由以上结果直观理解马尔可夫不等式。 \\~\\}
            \note{演示：通过在图上展示
                $\mathbb{E}(X)$ 直观理解马尔可夫不等式。 \\~\\}
            \note{练习：5 倍于人均收入的人数不会超过总人数的
                $\frac{1}{5}$. \\~\\}
            \item \textbf{詹森 (Jensen) 不等式}:  设 $X$ 为定义在有限概率空间
                $\left( \Omega, \mathbb{P}\right) $ 上的随机变量，
                $\varphi(\cdot)$ 为凸函数，
                则有：
                \begin{equation*}
                    \mathbb{E}[\varphi(X)] \geq \varphi(\mathbb{E}(X)).
                \end{equation*}
    \end{itemize}
\end{frame}

\section{条件期望}

\begin{iframe}[c]{基于时刻 $n$ 信息的 $X$ 的条件期望}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item
    \textbf{定义：}设 $X$ 是定义在
    $\left(\mathbb{C}^{(N)}, \mathbb{P}\right)$
    上的随机变量。
    给定前 $n$ 次抛掷硬币的结果 $\omega^{(n)}$, $1\leq n\leq N$,
    我们定义 $X$ 基于时刻 $n$ 信息（前 $n$ 次抛掷结果）的条件期望为：
    \begin{equation*}\label{eq:conditional_exp_binomial}
        \mathbb{E}_n[X]\left(\omega^{(n)}\right) =
        \sum_{\omega_{n+1}\cdots\omega_N}
        p^{\#H_{n+1}^N}
        q^{\#T_{n+1}^N}
        X\left(\omega^{(n)}\omega_{n+1}\cdots\omega_N\right),
    \end{equation*}
    % \footnote{
    %     表达式 $\omega^{(n)}$ 对应于书~\cite{shreve_stochastic_2004}
    %     中的 $\omega_1\cdots\omega_n$,
    %     表达式 $\#H_{n+1}^N$ 对应于书~\cite{shreve_stochastic_2004} 中的
    %     $\#H(\omega_{n+1}\cdots\omega_N)$,
    %     表达式 $\#T_{n+1}^N$ 对应于书~\cite{shreve_stochastic_2004} 中的
    %     $\#T(\omega_{n+1}\cdots\omega_N)$.
    % }
    其中
    $p^{\#H_{n+1}^N}$ 是第  $n+1$ 次到第 $N$ 次抛掷中出现正面的次数，
    $q^{\#T_{n+1}^N}$ 是第  $n+1$ 次到第 $N$ 次抛掷中出现反面的次数。
    我们定义 $\mathbb{E}_n[X]$ 为定义在
    $\left(\mathbb{C}^{(n)}, \mathbb{P}\right)$
    上的随机变量，
    其在每个样本点上的值由式子 \eqref{eq:conditional_exp_binomial} 决定。
        \item \textbf{练习：}计算基于时刻 $n$ 的信息的 $S_{n+1}$ 的条件期望。
        % \item 更一般地，计算基于时刻 $n$ 的信息的 $X$ 的条件期望。
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{条件期望的基本性质}
    \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
        \item 条件期望的线性性
        \item 提取已知量
        \item 累次条件期望
        \item 独立性
        \item 条件詹森不等式
    \end{itemize}
\end{iframe}
\end{document}
